Multipolentwicklung

Mụltipol|entwicklung,

 

die Entwicklung eines Potenzialfelds in eine Reihe, deren Koeffizienten die Multipolmomente der Verteilung der entsprechenden Feldquellen sind. Die konkrete Form der Entwicklung, und damit auch die der entsprechenden Multipolmomente, hängt von der Art des Potenzials, vom gewählten Koordinatensystem (z. B. kartesische oder Polarkoordinaten) und im Allgemeinen auch von der Wahl des Nullpunkts ab. Eine Multipolentwicklung ist gewöhnlich nur dann zweckmäßig, wenn der Abstand des Aufpunkts des Feldes von den Quellen groß ist im Vergleich zu dem Bereich, über den diese verteilt sind.

 

Die Entwicklung des elektrischen Potenzials

 

(ε₀ elektrische Feldkonstante, ρ Ladungsdichte) nach Kugelfunktionen Y_lm (ϑ, ϕ), d. h. in räumlichen Polarkoordinaten, lautet

 

Dabei sind die Koeffizienten

 

die Komponenten der elektrischen Multipolmomente in räumlichen Polarkoordinaten (der Stern * bedeutet »konjugiert komplex«). Die q_lm zu einem festen Wert von l sind irreduzible Tensoren l -ter Stufe (—l ≦ m ≦ l). Der Tensor nullter Stufe (Skalar) entspricht der elektrischen Ladung, der Tensor erster Stufe (Vektor) dem elektrischen Dipolmoment, der Tensor zweiter Stufe dem elektrischen Quadrupolmoment, der Tensor dritter Stufe dem elektrischen Oktupolmoment usw. Alternativ lässt sich das elektrische Potenzial auch in kartesischen Koordinaten entwickeln. Die ersten Glieder dieser Entwicklung lauten

 

Danach werden sie zunehmend unübersichtlich. Die Koeffizienten sind hier kartesische Tensoren beziehungsweise deren Elemente: q ist die elektrische Ladung, p das elektrische Dipolmoment, die Q_ij sind die Elemente des Tensors des elektrischen Quadrupolmoments.

 

Unter Verwendung von Vektorkugelfunktionen lässt sich das magnetische Vektorpotenzial A (r) auf ähnlicher Weise entwickeln. Außerdem ist auch eine Entwicklung der elektromagnetischen Strahlung nach oszillierenden Multipolmomenten möglich (Multipolstrahlung).